Mehmet Cüneyt Aksoy, ilkokulu Sümer Dargeçit’te, ortaokul ve liseyi Midyat İmam Hatip Lisesi’nde tamamladı. Anadolu Üniversitesi İlahiyat Meslek Yüksek Okulu’ndan mezun olduktan sonra aynı üniversitede Sosyal Bilimler Fakültesi’nde eğitimine devam etti, 2017 yılında ise İstanbul Aydın Üniversitesi’nde Mahalli İdareler ve Yerinden Yönetimler alanında yüksek lisansını tamamladı.

1994 yılında eğitimini tamamladıktan sonra Sümer Belediyesi’nde baş kâtip olarak göreve başladı. 2013 yılında Yazı İşleri Müdürlüğû’ne atanan ve görevine 2018 yılına kadar devam eden Aksoy evli ve 5 çocuk babasıdır.

Mehmet Cüneyt Aksoy, 2019’da yapılan  yerel seçimlerde AK Parti Mardin Dargeçit Belediye Başkan Adayı olarak seçimi kazandı.